數理之窗

樂透彩券有可能在四天內開出相同號碼?

2009年9月10日,保加利亞國家彩券公佈的中獎號碼竟然與四天前的完全一樣——4、15、23、24、35和42。這一結果讓許多人懷疑是否存在作弊或操作失誤,甚至引發了一場政府調查。然而,調查結果顯示,這一切都是純粹的巧合,沒有任何不當行為。

聽起來不可思議,但這種「巧合」其實比你想像的更常見。這就像著名的「生日悖論」一樣:在一個由23人組成的團體中,有兩個人生日相同的概率居然超過了50%。儘管每個人的生日相同的概率很低,但當你考慮到所有可能的配對,這種情況發生的概率就大大提高了。

同樣地,雖然每次彩券開出完全相同號碼的概率是約1/1398萬分,但隨著抽獎次數的增加,某兩次開出相同號碼的概率也隨之增大。數學家大衛·漢德(David Hand)指出,在進行4404次抽獎後,兩次抽獎號碼完全相同的概率實際上已經超過50%。如果每週進行兩次抽獎,這個過程只需要不到43年。

每週抽兩次,只需要43年就有可能發生

這裡的49! 表示49的階乘,等於從1乘到49的所有整數的乘積。6! 表示6的階乘,等於從1乘到6的所有整數的乘積。而 (49-6)! 表示43的階乘,等於從1乘到43的所有整數的乘積。這個公式用來計算在不考慮順序的情況下,從49個物件中選擇6個的不同組合總數。在彩票中,這個公式可以用來計算中獎號碼組合的總數,對應的數值約為1398萬3816種可能組合。

因此,當彩券號碼在短短四天內重複時,雖然看似不可能,但事實上這並不是一個「打破概率規則」的事件。反而,隨著全球各地眾多彩券的存在,偶爾出現重複號碼其實是可以預見的。

有趣的是,雖然這次「幸運號碼」的重複吸引了大量關注,但在首次抽獎時,沒有人猜中所有號碼。而在9月10日的抽獎中,卻有創紀錄的18人猜中全部六個號碼,贏得了大獎。這或許正是數學和概率給我們帶來的奇妙一面——即使看似不可能的事情,也可能真實發生。

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首圖來源:德寶電影公司 cc By4.0

參考出處:

1.The Lottery Drew The Same 6 Numbers 4 Days Apart. Here’s Why That’s Not Surprising

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